Question

在某電視節目的一次有獎競猜活動中，主持人準備了A、B兩個相互獨立的問題，并且宣布：幸運觀眾答對問題A可獲獎金1000元，答對問題B可獲獎金2000元，先答哪個題由觀眾自由選擇，但只有第一個問題答對，才能再答第二題，否則終止答題．若你被選為幸運觀眾，且假設你答對問題A、B的概率分別為

1

2

、

1

4

．
（Ⅰ）記先回答問題A獲得的獎金數為隨機變量ξ，則ξ的取值分別是多少？
（Ⅱ）你覺得應先回答哪個問題才能使你獲得更多的獎金？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先回答問題A，答錯的0元；答對，B答錯，得1000元；A、B都答對，得3000元
（2）設先答問題A獲得的獎金為ξ元，先答問題B獲得的獎金為η元．分別求其期望值，比較大小即可．

解答：解：（Ⅰ）隨機變量ξ的可能取值為0，1000，3000．
（Ⅱ）設先答問題A獲得的獎金為ξ元，先答問題B獲得的獎金為η元．則有P(ξ=0)=1-

1

2

=

1

2

，P(ξ=1000)=

1

2

×(1-

1

4

)=

3

8

，P(ξ=3000)=

1

2

×

1

4

=

1

8

，
∴Eξ=0×

1

2

+1000×

3

8

+3000×

1

8

=

6000

8

=750．
同理：P(η=0)=

3

4

，P(η=2000)=

1

8

，P(η=3000)=

1

8

，
∴Eη=0×

3

4

+2000×

1

8

+3000×

1

8

=

5000

8

=625．
故知先答問題A，所獲得的獎金期望較多．

點評：本題考查相互獨立事件的概率、離散型隨機變量的期望問題，以及利用概率知識分析問題、解決問題的能力．