Question

（2012•洛陽模擬）(2x+

1

3 x

)n的展開式中各項系數之和為729，則該展開式中x²的系數為

160

．

Answer 1

分析：由(2x+

1

3 x

)n的展開式中各項系數之和為729，知3ⁿ=729，解得n=6．再由（2x+

1

3 x

）⁶的通項公式為T_r+1=

C

r 6

(2x)6-r(

1

3 x

)r=26-r

C

r 6

x6-

4

3

r，能求出該展開式中x²的系數．

解答：解：∵(2x+

1

3 x

)n的展開式中各項系數之和為729，
令x=1，得3ⁿ=729，解得n=6．
∵（2x+

1

3 x

）⁶的通項公式為T_r+1=

C

r 6

(2x)6-r(

1

3 x

)r=26-r

C

r 6

x6-

4

3

r，
由6-

4

3

r=2，得r=3．
∴該展開式中x²的系數為26-3

C

3 6

=8×

6×5×4

3×2×1

=160．
故答案為：160．

點評：本題考查二項式系數的性質的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．