Question

過拋物線y²＝2px(p＞0)的對稱軸上的定點M(m，0)(m＞0)，作直線AB與拋物線相交于A、B兩點．

(1)試證明A、B兩點的縱坐標之積為定值；

(2)若點N是定直線l：x＝－m上的任一點，求證：三條直線AN、MN、BN的斜率成等差數列．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，有y1·y2＝－2pm，下證之： 　　設直線AB的方程為x＝ty＋m，與y2＝2px聯立得 　　消去x得y2－2pty－2pm＝0， 　　由根與系數間的關系，得y1·y2＝－2pm． 　　(2)設點N(－m，n)，則直線AN的斜率為kAN＝，直線BN的斜率為kBN＝， 　　∴kAN＋kBN＝ 　　 　　．又∵直線MN的斜率為kMN＝， 　　∴kAN＋kBN＝2kMN， 　　即直線AN、MN、BN的斜率成等差數列． 　　思路解析：本題第一問，涉及直線與拋物線的交點問題，求證的是這兩個交點的縱坐標間的關系，不難想到聯立直線與拋物線方程消去x，從而達到目的；對于第二問，容易想到將這三條直線的斜率表示出來，再通過等差數列的性質：an＝an+1＋an－1給予證明．