Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，曲線的方程為.以坐標原點為極點， 軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的參數方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設點在曲線上，點在曲線上，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的參數方程為 (為參數)， 的直角坐標方程為；（2）．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)利用極坐標與直角坐標、參數方程與直角坐標方程的轉化關系可得曲線的參數方程為（為參數），的直角坐標方程為.

(Ⅱ)曲線是以 為圓心， 為半徑的圓.設出點的的坐標，結合題意得到三角函數式： .結合二次型復合函數的性質可得.

試題解析：

（Ⅰ）曲線的參數方程為（為參數），

的直角坐標方程為，即.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線是以 為圓心， 為半徑的圓.

設，

則

.

當時， 取得最大值.

又因為，當且僅當三點共線，且在線段上時，等號成立.

所以.