Question

（2013•重慶）對正整數(shù)n，記I_n={1，2，3…，n}，P_n={|m∈I_n，k∈I_n}．
（1）求集合P₇中元素的個數(shù)；
（2）若P_n的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使P_n能分成兩個不相交的稀疏集的并．

Answer 1

（1）46      （2）n的最大值為14

（1）對于集合P₇ ，有n=7．當k=4時，P_n={|m∈I_n，k∈I_n}中有3個數(shù)（1，2，3）與
I_n={1，2，3…，n}中的數(shù)重復(fù)，由此求得
集合P₇中元素的個數(shù)為 7×7﹣3=46．
（2）先證當n≥15時，P_n不能分成兩個不相交的稀疏集的并集．否則，設(shè)A和B為兩個不相交的稀疏集，使A∪B=P_n?I_n ．
不妨設(shè)1∈A，則由于1+3=2²，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=4²，
這與A為稀疏集相矛盾．
再證P₁₄滿足要求．當k=1時，P₁₄={|m∈I₁₄，k∈I₁₄}=I₁₄，可以分成2個稀疏集的并集．
事實上，只要取A₁={1，2，4，6，9，11，13}，B₁={3，5，7，8，10，12，14}，則A₁和B₁都是稀疏集，且A₁∪B₁=I₁₄．
當k=4時，集合{|m∈I₁₄}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合{，，，…，}，可以分為下列3個稀疏集的并：
A₂={，，，}，B₂={，，}．
當k=9時，集合{|m∈I₁₄}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合{，，，，…，，}，
可以分為下列3個稀疏集的并：
A₃={，，，，}，B₃={，，，，}．
最后，集合C═{|m∈I₁₄，k∈I₁₄，且k≠1，4，9 }中的數(shù)的分母都是無理數(shù)，
它與P_n中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，
因此，令A(yù)=A₁∪A₂∪A₃∪C，B=B₁∪B₂∪B₃，則A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P₁₄．
綜上可得，n的最大值為14．