Question

（本小題滿分14分）
在一個半徑為1的半球材料中截取三個高度均為h的圓柱，其軸截面如圖所示，設三個圓柱體積之和為。

（１） 求f(h)的表達式，并寫出h的取值范圍是 ；
（２） 求三個圓柱體積之和V的最大值；

Answer 1

(1)的取值范圍是；⑵三個圓柱體積和的最大值為．

本試題是以半球為背景，表示圓柱體的高度的關系式，以及體積的運用，并結合導數來求解最值問題。
（1）利用球的半徑和圓柱的高度得到關于r與半徑的關系式，從而得到高度的表示。
（2）而圓柱體的體積就是底面積乘以高，那么三個柱體的體積可以借助于第一問中的高度表示出來，再集合導數的思想求解體積的最值。
解:(1)自下而上三個圓柱的底面半徑分別為：
．      ………………………………3分
它們的高均為，所以體積和
 6分
因為，所以的取值范圍是； ………………………………………7分
⑵ 由得，    ………………9分
又，所以時，；時，．11分
所以在上為增函數，在上為減函數，
所以時，取最大值，的最大值為． ………13分
答：三個圓柱體積和的最大值為． …………………………………………14分