Question

設橢圓C：（a＞b＞0） 的左、右焦點分別為F₁，F₂，上頂點為A，過點A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且，
(Ⅰ)求橢圓C的離心率；
(Ⅱ)若過A，Q，F₂三點的圓恰好與直線l：相切，求橢圓C的方程：
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸上是否存在點P(m，0)使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設，由知，
∵，
∴，
由，得F₁為的中點，
故，
∴，
故橢圓的離心率。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，即，
于是，
的外接圓圓心為，半徑，
所以，由已知，得，解得：a=2，
∴，
所求橢圓方程為。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，
由得，
設，
則，
，
由于菱形對角線垂直，則，
故，
則，
，
由已知條件知k≠0且k∈R，
∴，∴，
故存在滿足題意的P且m的取值范圍是。