Question

已知拋物線C以原點O為頂點，其準線方程為x=-1，焦點為F．
①求拋物線C的標準方程；
②過點P（-1，0）的直線l與拋物線C相交于A、B兩點．
（ⅰ）證明：

OA

•

OB

為定值；
（ⅱ）點A關于x軸的對稱點為D，證明：點F在直線BD上．

Answer 1

分析：①利用拋物線的定義及其性質即可得出；
②（i）把直線l的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系及數量積即可得出；
（ii）利用（i）的結論及向量共線的充要條件即可證明．

解答：解：①∵拋物線C以原點O為頂點，其準線方程為x=-1，∴

p

2

=1，∴焦點F（1，0）．
∴拋物線C的標準方程為y²=4x．（x≥0）．
②（i）如圖所示：可設直線l的方程為my=x+1，交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

my=x+1 y2=4x

消去x得y²-4my+4=0，
∵直線l與拋物線由兩個交點，∴△=16m²-16＞0，∴m²＞1．（*）
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
又∵x=my-1，∴x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=4（m²+1）-4m²+1=5為定值．
（ii）證明：∵點A關于x軸的對稱點為D，∴D（x₁，-y₁）．
∴

FB

=（x₂-1，y₂），

FD

=（x₁-1，-y₁），
∵y₂（x₁-1）+y₁（x₂-1）=y₂（my₁-2）+y₁（my₂-2）
=2my₁y₂-2（y₁+y₂）
=8m-8m=0．
∴存在實數λ，使得

FB

=λ

FD

，即三點B、F、D共線．

點評：熟練掌握拋物線的定義及其性質、直線與橢圓相交問題的解法、根與系數的關系、數量積的計算公式、向量共線的充要條件是解題的關鍵．