Question

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，

由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

因為BC?平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAC.

(2)過C作CM∥AP，則CM⊥平面ABC.

如圖，以點C為坐標原點，分別以直線CB、CA、CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．

在Rt△ABC中，因為AB＝2，AC＝1，所以BC＝.

因為PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．

設平面BCP的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則所以

不妨令y1＝1，則n1＝(0,1，－1)．因為＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，

設平面ABP的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則所以

不妨令x2＝1，則n2＝(1，，0)．于是cos〈n1，n2〉＝＝.

由題圖可判斷二面角為銳角，所以二面角C－PB－A的余弦值為.