【題目】已知集合
是滿足下列性質的函數
的全體：存在實數
、
，對于定義域內任意
，均有
成立，稱數對
為函數的“伴隨數對”.
（1）判斷函數
是否屬于集合，并說明理由；
（2）若函數
，求滿足條件的函數的所有“伴隨數對”；
（3）若
、
都是函數的“伴隨數對”，當
時，
，當
時，
，求當
時，函數
的解析式和零點.
【答案】（1）
；詳見解析
（2）
，
，
；
（3）
，零點為
，2015，2016.
【解析】
(1) 由題意可得
，化為
對
成立，需滿足條件
，解方程即可判斷；(2) 由題意可得
，運用兩角和差公式，化簡結合余弦函數的值域即可得到所求數對；(3)由
都是函數
的“伴隨數對”，可得為周期為4的函數，
，
，
，
的函數解析式，可得
，
的解析式，即可得到所求零點.
(1)
的定義域為
，假設存在實數
，對于定義域內的任意
均有
成立，則，
化為，由于上式對于任意實數x都成立：
，解得
是函數
的“伴隨數對”，
；
(2)
函數
，
，
，
，
都成立，
，
，
，又
，
故
，
當
時，
，
當
時，
，
的“伴隨數對”為
；
(3) 
都是函數的“伴隨數對”，
，
，
當
時，則
，此時
，
當時，則
，此時
，
當時，則
，此時
，
，
，
當
時，函數
的零點為
.
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【題目】現對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態度進行調查,隨機抽調了50人,他們月收入的頻數分布及對“樓市限購令”贊成人數如表:
月收入(單位百元) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(Ⅰ)由以上統計數據填下面2×2列聯表并問是否有99%的把握認為“月收入以5500為分界點”對“樓市限購令”的態度有差異;
月收入低于55百元的人數 | 月收入不低于55百元的人數 | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(Ⅱ)若采用分層抽樣在月收入在[15,25),[25,35)的被調查人中共隨機抽取6人進行追蹤調查,并給予其中3人“紅包”獎勵,求收到“紅包”獎勵的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
參考公式:K2
,其中n=a+b+c+d.
參考數據:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，
和
都是正三角形，
， E、F分別是AC、BC的中點，且PD⊥AB于D.
（Ⅰ）證明：直線
⊥平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的通項公式為
，其中
，
、
.
(1)試寫出一組、
的值，使得數列中的各項均為正數.
(2)若
，
，數列
滿足
，且對任意的
(
)，均有
，寫出所有滿足條件的的值.
(3)若
，數列
滿足
，其前
項和為
，且使
(
、
，
)的和
有且僅有
組，
、
、…、中有至少
個連續項的值相等，其它項的值均不相等，求、的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，小凳凳面為圓形，凳腳為三根細鋼管.考慮到鋼管的受力等因素，設計的小凳應滿足：三根細鋼管相交處的節點
與凳面圓形的圓心
的連線垂直于凳面和地面，且分細鋼管上下兩段的比值為
，三只凳腳與地面所成的角均為
.若
、
、
是凳面圓周的三等分點，
厘米，求凳子的高度
及三根細鋼管的總長度(精確到
).
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}的通項公式為 an=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：
（1）試寫出一組k1，k2∈Z的值，使得數列{an}中的各項均為正數；
（2）若k1=1、k2∈N*，數列{bn}滿足bn=
，且對任意m∈N*（m≠3），均有b3＜bm，寫出所有滿足條件的k2的值；
（3）若0＜k1＜k2，數列{cn}滿足cn=an+|an|，其前n項和為Sn，且使ci=cj≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且僅有4組，S1、S2、…、Sn中至少3個連續項的值相等，其他項的值均不相等，求k1，k2的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個三角形數表按如下方式構成（如圖：其中項數
）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數列，從第二行起，每一個數是其肩上兩個數的和，例如：
；
為數表中第
行的第
個數.
…
…
…
……
（1）求第2行和第3行的通項公式
和
；
（2）證明：數表中除最后2行外每一行的數都依次成等差數列，并求
關于
的表達式；
（3）若
，
，試求一個等比數列
，使得
，且對于任意的
，均存在實數
，當
時，都有
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面AA1B1B是菱形，側面AA1C1C是矩形，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∠BAA1
，AA1=2AC=2，O為AA1的中點.
（1）求證:OC⊥BC1；
（2）求點C1到平面ABC的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，A、B是海岸線OM、ON上兩個碼頭，海中小島有碼頭Q到海岸線OM、ON的距離分別為
、
，測得
，
，以點O為坐標原點，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，一艘游輪以
小時的平均速度在水上旅游線AB航行（將航線AB看作直線，碼頭Q在第一象限，航線BB經過點Q）.
（1）問游輪自碼頭A沿
方向開往碼頭B共需多少分鐘？
（2）海中有一處景點P（設點P在
平面內，
，且
），游輪無法靠近，求游輪在水上旅游線AB航行時離景點P最近的點C的坐標.
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