Question

設函數f(x)=

( 1 2 )x+1(x＜-1) -x2+2(-1≤x≤2) 3x-8(x＞2)

．
（Ⅰ）請在下列直角坐標系中畫出函數f（x）的圖象；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的圖象，試分別寫出關于x的方程f（x）=t有2，3，4個實數解時，相應的實數t的取值范圍；
（Ⅲ）記函數g（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使g（x₀）=x₀成立，則稱點（x₀，x₀）為函數g（x）圖象上的不動點．試問，函數f（x）圖象上是否存在不動點，若存在，求出不動點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據分段函數的定義域及指數函數圖象的平移，二次函數與一次函數的性質可畫出函數圖象
（II）方程f（x）=t有2，3，4個實數解時，即函數y=f（x）的圖象與y=t有2，3，4個交點，結合函數的圖象可求
（III）若f（x）圖象上存在不動點，則f（x）=x有解，則y=f（x）與y=x有交點，結合函數的圖象可求

解答：解：（Ⅰ） 函數f（x）的圖象如圖．…（4分）
（Ⅱ）根據圖象可知
當-2＜t＜1或t＞2時，方程f（x）=t有2個實數解；…（6分）
當t=1或t=2時，方程f（x）=t有3個實數解；…（7分）
當1＜t＜2時，方程f（x）=t有4個實數解．…（8分）
（Ⅲ）若f（x）圖象上存在不動點，則f（x）=x有解，則y=f（x）與y=x有交點．…（9分）．
由圖象可知：
若-1≤x≤2，則-x²+2=x，解得x=1（舍去x=-2），即不動點為（1，1）；
若x＞2，則3x-8=x，解得x=4，即不動點為（4，4）
綜上，函數f（x）圖象上存在不動點（1，1）、（4，4）．…（12分）

點評：本題主要考查了函數圖象的平移，一次函數、二次函數、指數函數的圖象的應用，方程的解與函數圖象的平移的相互轉化，數形結合思想的應用及轉化思想的應用