Question

已知橢圓C的焦點在x軸，焦距為2

3

，F₁，F₂是橢圓的焦點，P為橢圓上一點，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求此橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）求證：直線y=x+

5

與橢圓C有且僅有一個公共點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓C的焦點在x軸，焦距為2

3

，|PF₁|+|PF₂|=4，求出幾何量，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）直線y=x+

5

與橢圓聯立，消去y整理得一元二次方程，利用判別式為0，可得結論．

解答：（Ⅰ）解：設橢圓方程為

x 2

a2

+

y 2

b2

=1（a＞b＞0）
∴焦距為2

3

，|PF₁|+|PF₂|=4
∴2c=2

3

，2a=4
∴c=

3

，a=2
∵b²=a²-c²=1
∴橢圓方程為

x 2

4

+y2=1；
（Ⅱ）證明：聯立

y=x+ 5 x2 4 +y2=1

，消去y整理得5x2+8

5

x+16=0
∵△=(8

5

)2-4×5×16=0
∴直線y=x+

5

與橢圓C有且僅有一個公共點．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．