Question

【題目】已知函數f（x）=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ （ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移 個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在 上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：

f（x）=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣

=sin2ωx﹣ cos2ωx

=2sin（2ωx﹣ ）

由周期為π，得ω=1，得f（x）=2sin（2x﹣ ）

由正弦函數的單調遞增區間得

2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

所以函數f（x）的單調遞增區間是[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：將函數f（x）的圖象向左平移 個單位，再向上平移1個單位，

得到y=2sin2x+1的圖象，所以g（x）=2sin2x+1

因為 ，所以 ，故2sinx∈[﹣1，2]，

所以函數g（x）的最大值為3，最小值為0．

【解析】（1）根據二倍角的三角函數公式與輔助角公式化簡得f（x）=2sin（2ωx﹣ ），利用周期公式算出ω=1，得函數解析式為f（x）=2sin（2x﹣ ）．再由正弦函數單調區間的公式，解關于x的不等式即可得到函數f（x）的單調增區間；（2）求出g（x）的解析式，根據函數的單調性求出函數在閉區間的最值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．