Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，E為DD₁的中點．
（1）求證：BD₁∥平面EAC；
（2）求點D₁到平面EAC的距離．

Answer 1

（1）證明：連接BD交AC于F，連EF．（1分）
因為F為正方形ABCD對角線的交點，
所長F為AC、BD的中點．（3分）
在DDD₁B中，E、F分別為DD₁、DB的中點，
所以EF∥D₁B．（5分）
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．（7分）
（2）設D₁到平面EAC的距離為d．
在DEAC中，EF^AC，且AC=

2

a，EF=

3

2

a，
所以S△EAC=

1

2

EF•AC=

6

4

a2，
于是VD1-EAC=

1

3

dS△EAC=

6

12

a2d．（9分）
因為VA-ED1C=

1

3

AD•S△ED1C=

1

3

a×

1

2

×

1

2

a×a=

1

12

a3，（11分）
又VD1-EAC=VA-ED1C，即

6

12

a2d=

1

12

a3，（13分）
解得d=

6

6

a，故D₁到平面EAC的距離為

6

6

a．（14分）