Question

若數列A_n：a₁，a₂，…a_n（n≥2）滿足|a_k+1-a_k|=1，（k=1，2，…，n-1），則稱A_n為E數列，
（Ⅰ）寫出滿足a₁=a₅=0的所有E數列A₅；
（Ⅱ）若a₁=13，n=2000，求證：若A_n是遞增數列，則a_n=2012；反之亦成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，a₁=a₅=0，a₂=±1，a₄=±1，再根據|a_k+1-a_k|=1求出a₃=0，可以得出符合題設的E數列A₅；
（Ⅱ）從必要性入手，由單調性可以去掉絕對值符號，可得是A_n公差為1的等差數列，再證充分性，由遞增數列的性質得出不等式，再利用同向不等式的累加，可得a_k+1-a_k=1＞0，A_n是遞增數列．
解答：解：（Ⅰ）∵數列E數列A_n滿足|a_k+1-a_k|=1，
∴滿足a₁=a₅=0的所有E數列A₅四個：①0，1，0，1，0；
②0，-1，0，-1，0；③0，-1，0，1，0；④0，1，0，-1，0．
（Ⅱ）∵E數列A_n是遞增數列，∴a_k+1-a_k=1（k=1，2，…，1999），
∵a₁=13，n=2000，
∴A_n是首項為13，公差為1的等差數列，
∴a₂₀₀₀=13+（2000-1）×1=2012．
反之：由于a₂₀₀₀-a₁₉₉₉≤1，
a₁₉₉₉-a₁₉₉₈≤1，
…
a₂-a₁≤1，
所以a₂₀₀₀-a₁≤1999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999，
又因為a₁=13，a₂₀₀₀=2012，
所以a₂₀₀₀≤a₁+1999．
故a_k+1-a_k=1＞0（k=1，2，…，1999），即A_n是遞增數列．
綜上所述，若A_n是遞增數列，則a_n=2012；反之亦成立．
點評：本題以數列為載體，考查了不等式的運用技巧，屬于難題，將題中含有絕對值的等式轉化為不等式是解決此題的關鍵．