Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0
（1）若圓Q的圓心在直線y=x+3上，半徑為

2

，且與圓C外切，求圓Q的方程；
（2）若圓C的切線在x軸，y軸上的截距相等，求此切線的方程．

Answer 1

分析：（1）設圓Q的圓心為Q（a，b），利用圓Q的圓心在直線y=x+3上，半徑為

2

，且與圓C外切，可得b=a+3，|CQ|=R+r即可得出；
（2）分類討論：當切線過原點時，當截距不為0時，兩種情況．再利用切線的性質：圓心到切線的距離d=r即可得出．

解答：解：（1）由圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，可得（x+1）²+（y-2）²=2．，圓心為C（-1，2），半徑r=

2

．
設圓Q的圓心為Q（a，b），
∵圓Q的圓心在直線y=x+3上，半徑為

2

，且與圓C外切，
∴

b=a+3 |CQ|= (-1-a)2+(2-b)2 = 2 + 2

，解得

a=1 b=4

或

a=-3 b=0

．
因此圓Q的方程為：（x-1）²+（y-4）²=2或（x+3）²+y²=2．
（2）①當切線過原點時，設切線的方程為y=kx，則

|-k-2|

1+k2

=

2

，化為k²-4k-2=0，解得k=2±

6

，此時切線方程為y=(2±

6

)x．
②當截距不為0時，設切線的方程為x+y+m=0．
則

|-1+2+m|

2

=

2

，化為|1+m|=2，解得m=1或-3．
此時切線方程為x+y-3=0或x+y+1=0．
綜上可得：滿足條件的切線方程為：
y=(2±

6

)x或x+y-3=0或x+y+1=0．

點評：本題考查了圓的方程、切線的性質、點到直線的距離公式、分類討論、截距式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．