Question

【題目】已知二次函數(shù)的最小值為-1，且關(guān)于的方程的兩根為0和-2.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)其中，求函數(shù)在時(shí)的最大值；

（3）若（為實(shí)數(shù)），對(duì)任意，總存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)方程的根，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)的解析式（2）求出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求函數(shù)在時(shí)的最大值（3）求出函數(shù)的值域，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

（1）0，2是方程的兩根，

，，

又最小值即，

∴，，，

所以.

（2），.

分以下情況討論，的最大值.

（1）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，

.

（2）當(dāng)時(shí)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，

∵，

故只需比較與的大小.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

，

.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

，

；

綜上所得.

（3），

函數(shù)的值域?yàn)?/span>，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，故值域?yàn)?/span>，

對(duì)任意，

總存在使得成立，

即，

解得.