Question

已知函數(shù)f(x)=

a•2x+a2-2

2x-1

（x∈R，x≠0），其中a為常數(shù)，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求常數(shù)a的值；
（2）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，設(shè)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），且函數(shù)y=g（x）的圖象與y=f^-1（x+1）的圖象關(guān)于y=x對稱，求y=g（x）的解析式并求其值域；
（3）對于（2）中的函數(shù)y=g（x），不等式g²（x）+2g（x）+t•g（x）＞-2恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點對稱，任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
則f(-x)=

a•2-x+a2-2

2-x-1

=

(a2-2)2x+a

1-2x

=-

a•2x+a2-2

2x-1

（2分）
∴a²-2=a，解此方程可得：a=2或a=-1（3分）
又∵a＜0，∴a=-1（4分）
（2）由（1）知：a=-1，此時f(x)=-

2x+1

2x-1

，
∴2x=

y-1

y+1

，∴f-1(x)=log2

x-1

x+1

（6分）
∴f-1(x+1)=log2

x

x+2

（x＞0或x＜-2）（7分）
此時

x

x+2

=2y可得：x=

2y+1

1-2y

，
∴y=g(x)=

2x+1

1-2x

（9分）
∴g（x）的值域為（-∞，-2）∪（0，+∞）（10分）
（3）原不等式化為t•g（x）＞-g²（x）-2g（x）-2
當(dāng)g（x）＞0時，t＞-[g(x)+

2

g(x)

]-2（11分）
此時-[g(x)+

2

g(x)

]-2≤-2

2

-2即t＞-2

2

-2（12分）
當(dāng)g（x）＜-2時，t＜-[g(x)+

2

g(x)

]-2（13分）
∵g(x)+

2

g(x)

在g（x）∈（-∞，-2）單調(diào)遞增，
∴-[g(x)+

2

g(x)

]-2＞3-2=1即t≤1（15分）
綜上所述，實數(shù)t的取值范圍為(-2

2

-2，1]（16分）