Question

已知函數 .
（Ⅰ）若，試確定函數的單調區間；
（Ⅱ）若且對任意恒成立，試確定實數的取值范圍；
（Ⅲ）設函數，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）在單調遞增；在單調遞減  4分
（Ⅱ）.
（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ），令，解得
當時，，在單調遞增；
當時，，在單調遞減  4分
（Ⅱ）為偶函數，恒成立等價于對恒成立
解法1:當時，，令，解得
（1）當，即時，在減，在增
，解得，
（2）當，即時，，在上單調遞增，
，符合，
綜上，.                  9分 
解法2: 等價于對恒成立,
設則. 當時, ;當時, ;
時,  
 
（Ⅲ）



.   14分
點評：難題，本題屬于導數應用中的基本問題，在某區間，導數值非負，函數為增函數，導數值非正，函數為減函數。不等式證明問題，往往通過構造函數，轉化成了研究函數的最值，使問題得解。本題涉及不等式恒成立問題，通過研究函數的最值，解決了問題。