Question

如下圖，雙曲線－=1(b∈N^*)的兩個焦點為F₁、F₂，P為雙曲線上一點，|OP|<5,|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差數(shù)列，求此雙曲線方程.

Answer 1

所求雙曲線方程為－y²=1.

∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差數(shù)列，
∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4c.
又|PF₁|－|PF₂|=2a=4,
∴|PF₁|=2c+2,|PF₂|=2c－2.
根據(jù)中線定理有|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)<2(5²+c²),
∴(2c+2)²+(2c－2)²<2(5²+c²).
∴8c²+8<50+2c².
∴c²<7,
即4+b²<7.∴b²<3.又b∈N^*,∴b=1.
∴所求雙曲線方程為－y²=1.