Question

（本題滿分12分）
已知函數．
（I）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；
（II）令，是否存在實數，使得當時，函數的最小值是，若存在，求出實數的值，若不存在，說明理由？
（III）當時，證明：．

Answer 1

（I）                  …………………………………1分
在上單調遞減，因此當時，恒成立
即，化簡得，
令，即，………………………………4分
（II），         …………………………………5分
當時,單調遞減；單調遞增；
當時，單調遞減，
綜上                                    ………………………………8分
（III）由（II）可知
令，，       …………………………………9分
當時，，單調遞增，
即恒成立                …………………………………12分

略