Question

【題目】已知函數f（x）=x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]．

（Ⅰ）若函數f（x）為偶函數，求tanθ的值；

（Ⅱ）若f（x）在[﹣，1]上是單調函數，求θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據函數奇偶性的定義建立方程關系進行求解即可；（Ⅱ）利用一元二次函數的單調性的性質進行判斷即可．

試題解析：（Ⅰ）∵f（x）是偶函數，∴f（﹣x）=f（x），

則x2+4[sin（θ+）]x﹣2=x2﹣4[sin（θ+）]x﹣2，

則sin（θ+）=0，

∵θ∈[0，2π]，∴θ+=kπ，即θ=﹣+kπ，

∴tanθ=tan（﹣+kπ）=﹣．

（Ⅱ）∵f（x）=x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．

∴對稱軸為x=﹣2sin（θ+），

若f（x）在[﹣，1]上是單調函數，

則﹣2sin（θ+）≥1或﹣2sin（θ+）≤，

即sin（θ+）≥或sin（θ+）≤，

即2kπ+≤θ+≤2kπ+，或2kπ+≤θ+≤2kπ+，k∈Z，

即2kπ+≤θ≤2kπ+，或2kπ≤θ≤2kπ+，k∈Z，

∵θ∈[0，2π]，∴≤θ≤，或0≤θ≤．