Question

A組：直角坐標系xoy中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓C：x²+y²-4x+2=0的圓心．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線l₁，l₂．當直線l₁，l₂都與圓C相切時，求P的坐標．
B組：如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知點（1，e）和都在橢圓上，其中e為橢圓離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF₁與直線BF₂平行，AF₂與BF₁交于點P，若，求直線AF₁的斜率．

Answer 1

【答案】分析：A：（1）確定圓心坐標，設出橢圓方程，即可求得結論；
（2）確定l₁，l₂的方程，利用直線與圓相切，可得斜率之間的關系，結合橢圓方程，即可求得P的坐標；
B：（1）根據橢圓的性質和已知（1，e）和都在橢圓上列式求解．
（2）設AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my，與橢圓方程聯立，求出|AF₁|、|BF₂|，根據已知條件，用待定系數法求解．
解答：A組：
解：（1）由x²+y²-4x+2=0，得（x-2）²+y²=2，∴圓C的圓心為點（2，0），
從而可設橢圓E的方程為，其焦距為2c，
由題設知，∴a=2c=4，b²=a²-c²=12．
故橢圓E的方程為：；
（2）設點P的坐標為（x，y），l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂．
則l₁，l₂的方程分別為l₁：y-y=k₁（x-x），l₂：y-y=k₂（x-x），且．
由l₁與圓c：（x-2）²+y²=2相切，得，
即．
同理可得．
從而k₁，k₂是方程[（2-x）²-2]k²+2（2-x）yk+y²-2=0的兩個實根
所以①，且k₁k₂==
∵，
∴5x²-8x-36=0，
∴x=-2或x=
由x=-2得y=±3；由x=得y=±滿足①
故點P的坐標為（-2，3）或（-2，-3），或（，）或（，-）
B組
（1）解：由題設知a²=b²+c²，e=，由點（1，e）在橢圓上，得，∴b=1，c²=a²-1．
由點（e，）在橢圓上，得
∴，∴a²=2
∴橢圓的方程為+y2=1．
（2）解：由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直線AF₁與直線BF₂平行，∴設AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由，可得（m²+2）y₁²-2my₁-1=0．
∴y₁=，
∴|AF₁|=①
同理|BF₂|=②
由①②得|AF₁|-|BF₂|=，∴=，解得m²=2．
∵注意到m＞0，∴m=．
∴直線AF₁的斜率為．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．