Question

若F₁、F₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線的左支上，點M在雙曲線的右準線上，且滿足

F1O

=

PM

， 

OP

=λ(

OF1

| OF 1|

+

OM

| OM |

)（λ＞0），則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：由

F1O

=

PM

， 

OP

=λ(

OF1

| OF 1|

+

OM

| OM |

)可知F₁OMP是菱形，由此可以導出a，b，c的數量關系，從而求出雙曲線的離心率．

解答：解：∵

F1O

=

PM

， 

OP

=λ(

OF1

| OF 1|

+

OM

| OM |

)，
∴四邊形F₁OMP是菱形，
設PM與y軸交于點N，
∵|F₁O|=|PM|=c，MN=

a2

c

，
∴P點的橫坐標為-(c-

a2

c

) =-

b2

c

，
把x=-

b2

c

代入雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1得
y=±

c4 a2 - a4 c2 -4c2+4a2

，
∴M(

a2

c

，

c4

a2

-

a4

c2

-4c2+4a2)，
∴|OM|=

c4 a2 -4c2+4a2

．
∵四邊形F₁OMP是菱形，∴|OM|=|F₁O|，
∴

c4 a2 -4c2+4a2

=c．
整理得e⁴-5e²+4=0，解得e²=4或e²=1（舍去）．
∴e=2，或e=-2（舍去）．

點評：能夠判斷出F₁OMP是菱形，這是正確解題的關鍵步驟．