Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是軌跡上位于第一象限且在直線右側的動點，若以為圓心，線段為半徑的圓與有兩個公共點．試求圓在右焦點處的切線與軸交點縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】分析：（1）由題知，原點到直線的距離，求得，再由，求得 ，即可得到橢圓的標準方程；

（2）設，由圓的方程和性質，又由橢圓的方程得，代入可得，求得，又由切線方程為，令得，令，利用二次函數的性質，即可求解得的范圍，即可得到結論．

詳解：（1）由題知，原點到直線的距離

又，則

∴橢圓方程為

………………4分

（2）設，點到軸的距離為，

∵圓M與y軸有兩個交點，∴，

即，

∴，

又，

即，

∴，∴，

∴， ……………………7分

又，∴ ……………………8分

切線方程為，令得

令，則

……………10分

，則，在上為增函數

∴

∴切線與軸交點縱坐標的取值范圍為 ……………………12分

(轉化為求的斜率范圍得到更為簡便)

解法2：上面步驟相同

又，∴ ……………………8分

切線方程為，令得

又即

∴切線與軸交點縱坐標的取值范圍為 ……………………12分