Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，是上一點(diǎn).

（1）求證:平面平面；

（2）若是的中點(diǎn)，且二面角的余弦值是，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）先證明平面，然后可得平面平面；

（2）建立坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的余弦值是可得的長(zhǎng)度，然后可求直線與平面所成角的正弦值.

（1）平面，平面，得.

又，在中，得，

設(shè)中點(diǎn)為，連接，則四邊形為邊長(zhǎng)為1的正方形，所以，且，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線射線為軸和軸的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，.

又設(shè)，則，，， ，.

由且知，為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，

即，取，，則，有，得，從而，.

設(shè)直線與平面所成的角為，則.

即直線與平面所成角的正弦值為.