Question

如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，，點E為線段PB的中點，點M在AB弧上，且OM∥AC．
（1）求證：平面MOE∥平面PAC；
（2）求證：BC⊥平面PAC；
（3）求直線PB與平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先證明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；
（2）利用線線垂直證明線面垂直；
（3）由（2）知BC⊥面PAC，可得∠BPC為直線PB與平面PAC所成的角，求出BC、PB的值可得結論．

解答：（1）證明：因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以OE∥PA      …（1分）
因為PA?平面PAC，OE?平面PAC，所以OE∥平面PAC．…（2分）
因為OM∥AC，因為AC?平面PAC，OM?平面PAC，所以OM∥平面PAC．…（3分）
因為OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC …（5分）
（2）證明：因為點C在以AB為直徑的⊙O上，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，
因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．…（7分）
因為PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC；…（9分）
（3）解：由（2）知BC⊥面PAC，∴∠BPC為直線PB與平面PAC所成的角．…（10分）
在Rt△PAC中，PC=

PA2+AC2

=

5

，
在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

3

，
在Rt△PBC中，P=

PC2+BC2

=2

2

…（12分）
∴sin∠BPC=

BC

PB

=

3

2 2

=

6

4

．
∴直線PB與平面PAC所成的角的正弦值為

6

4

…（14分）

點評：本題考查面面平行，考查線面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握面面平行、線面垂直的判定方法，屬于中檔題．