Question

已知定義域為x∈R|x≠0的函數f（x）滿足；
①對于f（x）定義域內的任意實數x，都有f（-x）+f（x）=0；
②當x＞0時，f（x）=x²-2．
（I）求f（x）定義域上的解析式；
（II）解不等式：f（x）＜x．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據條件①變形，得到f（x）在定義域內是奇函數，設x小于0，得到-x大于0，代入②中f（x）的解析式中化簡后即可得到x小于0時f（x）的解析式，綜上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函數解析式；
（II）當x大于0時和小于0時，把（I）得到的相應的解析式代入不等式中，分別求出相應的解集，然后求出兩解集的并集即為原不等式的解集．
解答：解：（I）∵對于f（x）定義域內的任意實數x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定義域為{x∈R|x≠0}內是奇函數（2分）
∵當x＞0時，f（x）=x²-2，
設x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x²-2，即f（x）=2-x²，
則；（6分）
（II）∵當x＞0時，x²-2＜x，
化簡得（x-2）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜2，
所以不等式的解集為0＜x＜2；
當x＜0時，2-x²＜x，
化簡得：（x-1）（x+2）＞0，
解得：x＞1或x＜-2，
所以不等式的解集為x＜-2，
綜上，不等式f（x）＜x的解集為{x|0＜x＜2或x＜-2}．（10分）
點評：此題要求學生掌握奇函數的性質及確定方法，考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數學思想，是一道中檔題．