Question

本小題滿分12分）
已知函數(shù)是偶函數(shù).
(I)證明：對任意實數(shù)，函數(shù)的圖象與直線最多只有一個交點；
(II)若方程有且只有一個解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（I）由函數(shù)是偶函數(shù)可得：


即對一切恒成立，
……………………………3分
由題意可知，只要證明函數(shù)在定義域上為單調(diào)函數(shù)即可.
任取且，則…………5分
，即，
……………6分
函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù).
對任意實數(shù)，函數(shù)的圖象與直線最多只有一個交點.………7分
（II）若方程有且只有一解，
也就是方程有且只有一個實根，
令，問題轉(zhuǎn)化為方程：有且只有一個正根.………8分
（1）  若，則，不合題意；…………9分
（2）  若時，由或，當時，不合題意；當時，；……………10分
（3）  若時，，若方程一個正根與一個負根時，則.
………11分
綜上：實數(shù)的取值范圍是.……………12分

略