Question

已知函數其中為自然對數的底數， .(Ⅰ)設，求函數的最值；（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ)，． (Ⅱ)的取值范圍是

第一問中，當時，，．結合表格和導數的知識判定單調性和極值，進而得到最值。
第二問中，∵，，      
∴原不等式等價于：,
即, 亦即
分離參數的思想求解參數的范圍
解：（Ⅰ)當時，，．
當在上變化時，，的變化情況如下表：

		－		＋
					1／e

∴時，，．
(Ⅱ)∵，，      
∴原不等式等價于：,
即, 亦即．
∴對于任意的，原不等式恒成立,等價于對恒成立,
∵對于任意的時, （當且僅當時取等號）．
∴只需，即，解之得或.
因此，的取值范圍是