Question

設函數滿足，且當時，.又函數，則函數在上的零點個數為（    ）

A．5

B．6

C．7

D．8

Answer 1

B

解析試題分析：在同一坐標系內畫出函數y=f(x)和y=g(x)的圖象，在上
圖象交點的個數既是h(x)零點的個數。
∵f(－x)=f(x),∴f(x)是偶函數
∵f(x)=f(2－x)
∴f(－x+2)=f(－x)
∴f(x)=f(x+2)
∴f(x)是周期函數，周期為2
∵當x∈[0,1]時，f（x）=x³
∴當x∈[－1,0]]時，f（x）=－x³
∴x∈[1，]時，f(x)=f(x－2)=－(x－2)³
g（x）=|xcos(πx)|
g(－x)=g(x)，g(x)是偶函數
x∈[－，]， πx∈[－，]，cosπx>0
g(x)=xcos(πx)， g'(x)=cos(πx)－πsin(πx)=0
x∈[1，]，πx∈[π，]，cosπx<0
g(x)=－xcos(πx)
可在同一坐標系內畫出函數在[－,]上的簡圖，觀察交點個數為6個，
∴h(x）=g（x）－f（x）在上的零點個數有6個，選B.
考點：本題主要考查函數零點的概念，函數的圖象和性質，函數的奇偶性、周期性。
點評：難題，通過分析函數特征，明確了函數圖象的大致形態，在同一坐標系內觀察兩圖象的交點情況。