Question

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（3）求證：

12+1+1

12+1

•

22+2+1

22+2

•

32+3+1

32+3

•…•

n2+n+1

n2+n

＜e．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，知f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，由此能求出f（x）在定義域上的最大值．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，等價于a＞

ln(x+1)

x

恒成立，由此能夠求出a的取值范圍．
（3）要證

12+1+1

12+1

•

22+2+1

22+2

•

32+3+1

32+3

•…•

n2+n+1

n2+n

＜e，只需證ln(1+

1

12+1

)+ln(1+

1

22+2

)+…+ln(1+

1

n2+n

)＜1，由此能夠得到證明．

解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，
∴f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，
由f′(x)=

-x

1+x

＞0，得-1＜x＜0；由f′(x)=

-x

1+x

＜0，得x＞0；
所以y=f（x）在（-1，0）為增，在（0，+∞）為減，
所以x=0時，f（x）取最大值0．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，
等價于a＞

ln(x+1)

x

恒成立，
設g(x)=

ln(x+1)

x

⇒g′(x)=

x 1+x -ln(x+1)

x2

，
設h(x)=

x

1+x

-ln(x+1)⇒h′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0(x≥1)，
所以h（x）是減函數，所以h(x)≤h(1)=

1

2

-ln2＜0(4＞e⇒2＞e

1

2

)，
所以g（x）是減函數，g_max（x）=g（1），所以a＞ln2
（3）要證

12+1+1

12+1

•

22+2+1

22+2

•

32+3+1

32+3

•…•

n2+n+1

n2+n

＜e，
只需證ln

12+1+1

12+1

+ln

22+2+1

22+2

+…+ln

n2+n+1

n2+2

＜1
只需證ln(1+

1

12+1

)+ln(1+

1

22+2

)+…+ln(1+

1

n2+n

)＜1
因為ln(1+

1

n2+n

)＜

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
所以ln(1+

1

12+1

)+ln(1+

1

22+2

)+…+ln(1+

1

n2+n

)＜1-

1

n+1

＜1．
故

12+1+1

12+1

•

22+2+1

22+2

•

32+3+1

32+3

•…•

n2+n+1

n2+n

＜e．

點評：本題考查函數的最大值的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．