Question

【題目】已知函數f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0且a≠1）．
（1）求函數f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1﹣x）．

若要上式有意義，則 ，

即﹣1＜x＜1．

所以所求定義域為{x|﹣1＜x＜1}

（2）解：設F（x）=f（x）+g（x），

則F（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）

=loga（﹣x+1）+loga（1+x）=F（x）．

所以f（x）+g（x）是偶函數

（3）解：f（x）﹣g（x）＞0，

即loga（x+1）﹣loga（1﹣x）＞0，

loga（x+1）＞loga（1﹣x）．

當0＜a＜1時，上述不等式等價于

解得﹣1＜x＜0．

當a＞1時，原不等式等價于 ，

解得0＜x＜1．

綜上所述，當0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|﹣1＜x＜0}；

當a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}

【解析】（1）要求函數f（x）+g（x）的定義域，我們可根據讓函數解析式有意義的原則，構造不等式組，解不等式組即可得到函數f（x）+g（x）的定義域；（2）要判斷f（x）+g（x）的奇偶性，我們根據奇偶性的定義，先判斷其定義域是否關于原點對稱，然后再判斷f（﹣x）+g（﹣x）與f（x）+g（x）的關系，結合奇偶性的定義進行判斷；（3）若f（x）﹣g（x）＞0，則我們可以得到一個對數不等式，然后分類討論底數取值，即可得到不等式的解．