Question

設

a

，

b

為不共線的兩個向量，且

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直，

a

-

b

與

a

垂直，則

a

與

b

的夾角的余弦值為

10

5

．

Answer 1

分析：設

a

與

b

的夾角為θ，由題意可得2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2=0  ①

a

2-

a

•

b

=0   ②聯立可解得|

b

|=

10

2

|

a

|，代入②式由向量的運算可得cosθ

解答：解：設

a

與

b

的夾角為θ，
∵

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直，

a

-

b

與

a

垂直，
∴（

a

+2

b

）•（2

a

-

b

）=2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2=0  ①
（

a

-

b

）•

a

=

a

2-

a

•

b

=0   ②
聯立①②可得

b

2=

5

2

a

2，|

b

|=

10

2

|

a

|，
代入②可得|

a

|2-|

a

|•|

b

|cosθ=|

a

|2-

10

2

|

a

|2cosθ=0，
解之可得cosθ=

10

5

故答案為：

10

5

點評：本題考查數量積與向量的夾角的關系，涉及向量的垂直關系，屬中檔題．