Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：（x-3）²+（y+2）²=4，圓C₂：（x+m）²+（y+m+5）²=2m²+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（1）設P為坐標軸上的點，滿足：過點P分別作圓C₁與圓C₂的一條切線，切點分別為T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，試求出所有滿足條件的點P的坐標；
（2）若斜率為正數的直線l平分圓C₁，求證：直線l與圓C₂總相交．

Answer 1

（1）由題設條件，圓C₁的圓心坐標（3，-2），半徑為2，圓C₂的圓心坐標（-m，-m-5），半徑為

2m 2+8m+10

∵過點P分別作圓C₁與圓C₂的一條切線，切點分別為T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，
∴PC₁²-4=PC₂²-（2m²+8m+10）
若點P在X軸上，設P（x，0），將P（x，0）及圓心的坐標代入整理得（2m-6）x=-2m+6，故x=-1，
即P（-1，0）
若點P在Y軸上，可設P（0，y），同理解得y=-1，即P（0，-1）
故滿足條件的點P的坐標為（-1，0）或（0，-1）
（2）若斜率為正數的直線l平分圓C₁，可得此直線過定點（3，-2），
設此直線的方程為y+2=k（x-3），整理得kx-y-3k-2=0
圓C₂的圓心到此直線的距離為d=

|-mk+m+5-3k-2|

1+k2

=

|(1-k)(m+3)|

1+k2

由于d²-r²=

(1-2k+k2)(m+3) 2

1+k2

-（2m²+8m+10）
=

(1-2k+k2)(m+3) 2-(1+k2)(2m 2+8m+10)

1+k2

=-m²-2m-1-

2k

1+k2

（m+3）²
=-（m+1）²-

2k

1+k2

（m+3）²＜0 （∵k＞0）
可得在d＜r，即直線l與圓C₂總相交