Question

（2012•許昌三模）已知函數f（x）=e^x，若函數g（x）滿足f（x）≥g（x）恒成立，則稱g（x）為函數f（x）的下界函數．
（Ⅰ）若函數g（x）-kx是f（x）的下界函數，求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）證明：對于?m≤2，，函數h（x）=m+lnx都是f（x）的下界函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若函數g（x）=kx是f（x）的下界函數，則k＜0不成立而k=0必然成立；當k＞0時，若g（x）=kx是f（x）的下界函數，則f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-kx≥0恒成立．構造函數h（x）=e^x-kx，求得h（x）_min≥0，即可求得實數k的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數G（x）=ex是f（x）=e^x的下界函數，證明h（x）=m+lnx是G（x）=ex的下界函數，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：若函數g（x）=kx是f（x）的下界函數，則k＜0不成立而k=0必然成立．----（2分）
當k＞0時，若g（x）=kx是f（x）的下界函數，則f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-kx≥0恒成立．
令h（x）=e^x-kx，則h′（x）=e^x-k．
令h′（x）＜0，則x＜lnk，h′（x）＞0，則x＞lnk，
∴函數h（x）在（-∞，lnk）單調遞減，（lnk，+∞）上單調遞增．----（4分）
由h（x）≥0得h（x）_min=h（lnk）=k-klnk≥0，解得0＜k≤e．
綜上：0≤k≤e．----（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知函數G（x）=ex是f（x）=e^x的下界函數．即f（x）≥G（x）恒成立----（8分）
若m≤2，構造函數F（x）=ex-lnx-m（x＞0），則F′（x）=

ex-1

x

令F′（x）＜0，則x＜

1

e

，F′（x）＞0，則x＞

1

e

，
∴函數h（x）在（-∞，

1

e

）單調遞減，（

1

e

，+∞）上單調遞增．
∴F（x）_min=F（

1

e

）=2-m≥0----（10分）
即h（x）=m+lnx是G（x）=ex的下界函數，即G（x）≥h（x）恒成立．
所以，f（x）≥G（x）≥h（x）恒成立，即h（x）=m+lnx是f（x）=e^x的下界函數．----（12分）

點評：本題考查利用函數的導函數求函數的最值，考查函數的單調性，考查新定義，屬于中檔題．