Question

已知F₁、F₂為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列四個(gè)命題：
①△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心必在直線(xiàn)x=3上；
②△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心必在直線(xiàn)x=2上；
③△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心必在直線(xiàn)OP上；
④△PF₁F₂的內(nèi)切圓必過(guò)（3，0）．
其中真命題的序號(hào)是________．

Answer 1

①④
分析：設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A、B，與F₁F₂切于點(diǎn)M，則可知|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)右支上，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，因此|F₁M|-|F₂M|=2a，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），代入即可求得x，判斷①④正確．
解答：設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A、B，與F₁F₂切于點(diǎn)M，則可知|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)右支上，所以|PF₁|-|PF₂|=2a=6，故|F₁M|-|F₂M|=6，而|F₁M|+|F₂M|=2，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
則由|PF₁|-|PF₂|=2a=6，可得（x+）-（-x）=6，解得x=3，顯然內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)M的連線(xiàn)垂直于x軸，
故答案為①④．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．特別是靈活利用了雙曲線(xiàn)的定義．