Question

三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A₁B₁C₁，
∠BAC=90°,A₁A⊥平面ABC,A₁A=,AB=,AC=2,A₁C₁=1,=.
(1)證明:平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
(2)求二面角A—CC₁—B的余弦值.

Answer 1

(1) 證明略(2) 二面角A—CC₁—B余弦值為.

方法一 (1) ∵A₁A⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A₁A⊥BC.
在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.
∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,
∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,
即AD⊥BC.
又A₁A∩AD=A,∴BC⊥平面A₁AD.
∵BC平面BCC₁B₁,∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.
(2) 如圖①,作AE⊥C₁C交C₁C于E點,連接BE,由已知得AB⊥平面ACC₁A₁,
∴AE是BE在平面ACC₁A₁內的射影.
由三垂線定理知BE⊥CC₁,
∴∠AEB為二面角A—CC₁—B的平面角.                                                 圖①
過C₁作C₁F⊥AC交AC于F點,
則CF=AC-AF=1,
C₁F=A₁A=,∴∠C₁CF=60°.
在Rt△AEC中,
AE=ACsin60°=2×=,
在Rt△BAE中,tan∠AEB===,
∴cos∠AEB=,
即二面角A—CC₁—B余弦值為.
方法二 (1) 如圖②,建立空間直角坐標系,

圖②
則A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),
A₁(0,0,),C₁(0,1, ).
∵BD∶DC=1∶2,∴=,
∴D點坐標為,
∴=, =(-,2,0),=(0,0,).
∵·=0，·=0，
∴BC⊥AA₁，BC⊥AD.又A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AD.又BC平面BCC₁B₁，
∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.
（2） ∵BA⊥平面ACC₁A₁，取m==(,0,0)為平面ACC₁A₁的法向量.
設平面BCC₁B₁的法向量為n=(x,y,z),
則·n=0，·n=0，
∴
∴x=y，z=，可取y=1，則n=，
cos〈m,n〉=
=,
即二面角A—CC₁—B的余弦值為.