Question

已知函數f(x)的定義域為{x| x ≠ kπ，k ∈ Z}，且對于定義域內的任何x、y，有f(x­ - y) = 成立，且f(a) = 1(a為正常數)，當0 < x < 2a時，f(x) > 0．

(1) 判斷f(x)奇偶性；

(2) 證明f(x)為周期函數；

(3) 求f (x)在[2a，3a] 上的最小值和最大值．

Answer 1

證明：(1) ∵定義域{x| x ≠ kπ，k∈Z }關于原點對稱，

又f(- x) = f [(a - x) - a]= =  

=  =  =  = - f (x)，

對于定義域內的每個x值都成立．

∴  f (x)為奇函數

(2) 易證：f(x + 4a) = f(x)，周期為4a．

(3) f (2a) = f (a + a) = f [a - (- a)]=  =  = 0，

f (3a) = f (2a + a) = f [2a - (- a)]= =  = - 1．

先證明f (x)在[2a，3a]上單調遞減為此，必須證明x∈(2a，3a) 時，f (x) < 0，

設2a < x < 3a，則0 < x - 2a < a，

∴ f (x - 2a) =  = -  > 0，

∴ f (x) < 0

設2a < x₁ < x₂ < 3a，

則0 < x₂ - x₁ < a，∴ f (x₁) < 0   f (x₂) < 0  f (x₂ - x₁) > 0，

∴ f (x₁) - f (x₂)=  > 0，∴ f (x₁) > f (x₂)，

∴ f (x)在[2a，3a]上單調遞減 

∴ f (x)在[2a，3a]上的最大值為f (2a) = 0，最小值為f (3a) = - 1．