Question

3、平面α∥平面β，AB、CD是夾在α和β間的兩條線段，E、F分別為AB、CD的中點，則EF與α的關系是（　　）

A、平行

B、相交

C、垂直

D、不能確定

Answer 1

分析：由于AB，CD的位置關系不確定，故要分AB∥CD，AB，CD相交，及AB，CD異面三種情況來討論，其中前兩種情況由面面平行的性質定理，可以將其轉化為一個平面問題，易得到結論，當AB與CD異面時，可以添加輔助線將空間問題轉化為平面問題，再進行判斷．

解答：解：若AB∥CD，易得EF與α、β均平行
若AB與CD相交，則EF與α、β均平行
若AB與CD異面，則
設過AB和EF的平面交α，β分別于直線AG和BH，如下圖所示：

且使G，F，H在一直線上．
因為平面α∥β，所以AG∥CH，連接CG和DH，則CGFDH在一個平面內，且
CG∥DH，F為CD中點，所以三角形CFG和三角形DFH全等，即得FG=FH，
因為AG∥CH，又E，F分別為AB，CD中點，且A，C，H，G在一個平面內，所以
EF∥AG∥CH，CH在平面β內，故EF∥β．
同理EF∥β
故選A

點評：本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關系，由于AB，CD的位置關系不確定，故要進行分類討論，另外將空間問題轉化為平面問題的轉化思想也是處理空間問題最常用的思路．