Question

首項為正數的數列{a_n}滿足a_n+1=

1

4

（a_n²+3），n∈N₊．
（1）證明：若a₁為奇數，則對一切n≥2，a_n都是奇數；
（2）若對一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先在n=1時，知a₁為奇數，再利用歸納法證明對一切n≥2，a_n都是奇數；
（2）先求出a_n+1-a_n的表達式，利用函數思想求解不等式a_n+1-a_n＞0，求出a_n取值范圍，利用歸納法求出a₁的取值范圍．

解答：（1）證明：已知a₁是奇數，假設a_k=2m-1是奇數，其中m為正整數，則由遞推關系得a_k+1=

a 2 n +3

4

=m（m-1）+1是奇數．
根據數學歸納法，對任何n≥2，a_n都是奇數．
（2）法一：由a_n+1-a_n=

1

4

（a_n-1）（a_n-3）知，a_n+1＞a_n當且僅當a_n＜1或a_n＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，則0＜a_k+1＜

1+3

4

=1；
若a_k＞3，則a_k+1＞

32+3

4

=3．
根據數學歸納法得，0＜a₁＜1?0＜a_n＜1，?n∈N₊；
a₁＞3?a_n＞3，?n∈N₊．
綜上所述，對一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要條件是0＜a₁＜1或a₁＞3．
法二：由a₂=

a 2 1 +3

4

＞a₁，得a₁²-4a₁+3＞0，于是0＜a₁＜1或a₁＞3．
a_n+1-a_n=

a 2 n +3

4

-

a 2 n-1 +3

4

=

(an+an-1)(an-an-1)

4

，
因為a₁＞0，a_n+1=

a 2 n +3

4

，所以所有的a_n均大于0，
因此a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號．
根據數學歸納法，?n∈N₊，a_n+1-a_n與a₂-a₁同號．
因此，對一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要條件是0＜a₁＜1或a₁＞3．

點評：此題主要考查數學歸納法求解有關數列的問題時的應用．