Question

【題目】某客戶考察了一款熱銷的凈水器，使用壽命為十年，改款凈水器為三級過濾，每一級過濾都由核心部件濾芯來實現.在使用過程中，一級濾芯需要不定期更換，其中每更換個一級濾芯就需要更換個二級濾芯，三級濾芯無需更換.其中一級濾芯每個元，二級濾芯每個元.記一臺凈水器在使用期內需要更換的二級濾芯的個數構成的集合為.如圖是根據臺該款凈水器在十年使用期內更換的一級濾芯的個數制成的柱狀圖.

（1）結合圖，寫出集合；

（2）根據以上信息，求出一臺凈水器在使用期內更換二級濾芯的費用大于元的概率（以臺凈水器更換二級濾芯的頻率代替臺凈水器更換二級濾芯發生的概率）；

（3）若在購買凈水器的同時購買濾芯，則濾芯可享受折優惠（使用過程中如需再購買無優惠）.假設上述臺凈水器在購機的同時，每臺均購買個一級濾芯、個二級濾芯作為備用濾芯（其中，），計算這臺凈水器在使用期內購買濾芯所需總費用的平均數.并以此作為決策依據，如果客戶購買凈水器的同時購買備用濾芯的總數也為個，則其中一級濾芯和二級濾芯的個數應分別是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.3；（3）見解析.

【解析】

（1）根據直方圖和一級濾芯和二級濾芯之間的關系，可得答案；

（2）更換二級濾芯的費用大于元，即更換4個二級濾芯，轉化為更換12個一級濾芯，由直方圖得出答案；

（3），，可以分為和兩種情況，分別算出其平均數，得到結論

（1）由題意可知當一級濾芯更換、、個時，二級濾芯需要更換個，

當一級濾芯更換個時，二級濾芯需要更換個，所以；

（2）由題意可知二級濾芯更換個，需元，二級濾芯更換個，需元，

在臺凈水器中，二級濾芯需要更換個的凈水器共臺，二級濾芯需要更換個的凈水器共臺，

設“一臺凈水器在使用期內更換二級濾芯的費用大于元”為事件，所以；

（3）因為，，

（i）若，，

則這臺凈水器在更換濾芯上所需費用的平均數為

（ii）若，，

則這臺凈水器在更換濾芯上所需費用的平均數為

所以如果客戶購買凈水器的同時購買備用濾芯的總數為個，

客戶應該購買一級濾芯個，二級濾芯個。