Question

【題目】已知.

（1）當時，若函數在處的切線與函數相切，求實數的值；

（2）當時，記.證明：當時，存在，使得.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)見解析.

【解析】分析：第一問將代入解析式，之后對函數求導，從而可以求得，結合，利用點斜式寫出切線的方程，之后再結合直線與拋物線相切的有關特征求得參數b的值；第二問結合題中的條件，轉化函數解析式，利用導數研究函數的性質，向最值靠攏即可證得結果.

詳解：（Ⅰ）解：當時，，

，故切線方程為．

設切線與相切的切點為，

故滿足方程組

解得，故．

（Ⅱ）證明：，

令，則

在上單調遞增，在上單調遞減.

即恒成立，

或，

在上單調遞減，在上單調遞增，

．

只需證時，即可，

令

則，恒成立，

在上單調遞減.

，

在上單調遞增，上單調遞減，