Question

【題目】有下列五個命題： ①函數y=4cos2x，x∈[﹣10π，10π]不是周期函數；
②已知定義域為R的奇函數f（x），滿足f（x+3）=f（x），當x∈（0， ）時，f（x）=sinπx，則函數f（x）在區間[0，6]上的零點個數是9；
③為了得到函數y=﹣cos2x的圖象，可以將函數y=sin（2x﹣ ）的圖象向左平移 ；
④已知函數f（x）=x﹣sinx，若x1 ， x2∈[﹣ ， ]且f（x1）+f（x2）＞0，則x1+x2＞0；
⑤設曲線f（x）=acosx+bsinx的一條對稱軸為x= ，則點（ ，0）為曲線y=f（ ﹣x）的一個對稱中心．
其中正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④⑤
【解析】解：①函數y=4cos2x，x∈[﹣10π，10π]不是周期函數；正確， ②由f（x+3）=f（x）得函數的周期是3，
當x∈（0， ）時，f（x）=sinπx，sinπx=0得πx=kπ，則x=k，在x∈（0， ）內，x=1，只有一個零點，
則f（1）=f（4）=0，
又f（﹣1）=﹣f（1）=0，則f（﹣1）=f（2）=f（5），
∵f（x）是奇函數，∴f（0）=0，則f（0）=f（3）=f（6）=0，
令x=﹣ ，則f（﹣ +3）=f（﹣ ），即f（ ）=﹣f（ ），則f（ ）=0，則f（ ）=f（ ）=0
則函數f（x）在區間[0，6]上的零點為0，1，2，3，4，5，6， ， ，共9個零點，故②正確；
③將函數y=sin（2x﹣ ）的圖象向左平移 得到y=sin[2（x+ ）﹣ ）]=sin（2x+ ）；而y=﹣cos2x=cos（π﹣2x）=sin（ ﹣π+2x）=sin（2x﹣ ），故③錯誤，
④已知函數f（x）=x﹣sinx，則函數f（x）是奇函數，且函數的導數f′（x）=1﹣cosx≥0，則f（x）為增函數，
若x1 ， x2∈[﹣ ， ]且f（x1）+f（x2）＞0，得f（x1）＞﹣f（x2）=f（﹣x2），即x1＞﹣x2 ， 則x1+x2＞0成立；故④正確，
⑤曲線f（x）=acosx+bsinx= sin（x+θ），tanθ= ，
所以函數的周期為：2π．因為曲線f（x）=acosx+bsinx的一條對稱軸為 ，
所以函數的一個對稱點為：（ ），即（ ）．
函數y=f（﹣x）的一個對稱中心為（ ），
的圖象可以由函數y=f（﹣x）的圖象向右平移 單位得到的，
所以曲線 的一個對稱點為（ ），即 ．故⑤正確，
所以答案是：①②④⑤．
【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應用的相關知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能正確解答此題．