Question

已知數列{a_n}滿足奇數項a₁，a₃，a₅，…成等差數列{a_2n-1}（n∈N₊），而偶數項a₂，a₄，a₆，…成等比數列{a_2n}（n∈N₊），且a₁=1，a₂=2，a₂，a₃，a₄，a₅成等差數列，數列{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）設b_n=

S2n

2n

，試比較b_n+1與b_n的大小．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列與等比數列的綜合

專題：

分析：（Ⅰ）先利用等差數列及等比數列的定義求得a_2n-1=2n-1，a2n=2n，進而利用等差數列及等比數列的求和公式分別求得奇數項的和及偶數項的和，即得結論．注意分類討論．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論得bn+1-bn=

(n+1)2+2n+2-2

2n+1

-

n2+2n+1-2

2n

=

4-(n-1)2

2n+1

．即得結論．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數列{a_2n-1}（n∈N₊）的公差為d，等比數列{a_2n}（n∈N₊）的公比為q，
則2（1+d）=2+2q，4q=（1+d）+（1+2d），解得q=d=2．…（2分）
于是a_2n-1=2n-1，a2n=2n，即數列的通項an=

n，n為奇數 2 n 2 ，n為偶數.

…（4分）
于是當n為偶數時，數列奇數項的和為[

1+(2× n 2 -1)

2

]×

n

2

=

n2

4

，偶數項的和為

2(1-2 n 2 )

1-2

=2

n

2

+1-2，
故Sn=

n2

4

+2

n

2

+1-2．…（6分）
當n為奇數時，Sn=Sn-1+an=

(n-1)2

4

+2

n+1

2

-2+n=2

n+1

2

+

n2+2n-7

4

．
于是Sn=

2 n+1 2 + n2+2n-7 4 ，n為奇數 n2 4 +2 n 2 +1-2，n為偶數.

…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=

S2n

2n

=

n2+2n+1-2

2n

，bn+1-bn=

(n+1)2+2n+2-2

2n+1

-

n2+2n+1-2

2n

=

4-(n-1)2

2n+1

．…（10分）
當n≤3時，b_n+1≥b_n；當n＞3時，b_n+1＜b_n．…（13分）

點評：本題主要考查等差數列及等比數列的定義性質和求和公式的應用，考查學生的分類討論思想及運算求解能力，屬中檔題．