Question

甲、乙兩個鋼鐵廠2010年的年產(chǎn)量均為100萬噸，兩廠通過革新煉鋼技術(shù)、改善生產(chǎn)條件等措施，預(yù)計從2011年起，在今后10年內(nèi)，甲廠的年產(chǎn)量每年都比上一年增加10萬噸；以2010年為第一年，乙廠第n（n∈N^*，n≥2）年的年產(chǎn)量每年都比上一年增加2^n-1萬噸．
（Ⅰ）“十二•五”期間（即2011年至2015年），甲、乙兩個鋼鐵廠的累計鋼產(chǎn)量共多少萬噸？
（Ⅱ）若某鋼廠的年產(chǎn)量首次超過另一鋼廠年產(chǎn)量的2倍，則該鋼廠于當(dāng)年底將另一鋼廠兼并，問：在今后10年內(nèi)，其中一個鋼廠能否被另一個鋼廠兼并？若能，請推算出哪個鋼廠在哪一年底被兼并；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意知，甲工廠第n年的年產(chǎn)量是構(gòu)成等差數(shù)列，其首項為100，公差是10，而乙工廠的第n年的年產(chǎn)量是一個累加和為b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1，數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式易得，可求“十二•五”期間（即2011年至2015年），甲、乙兩個鋼鐵廠的累計鋼產(chǎn)量；
（Ⅱ）比較兩個通項公式，根據(jù)情況求出年份即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題得，甲工廠第n年的年產(chǎn)量是一個等差數(shù)列的項，其首項為100，公差是10，∴a_n=10n+90，
乙工廠的第n年的年產(chǎn)量是一個累加和為b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ+98，
∴“十二•五”期間（即2011年至2015年），甲、乙兩個鋼鐵廠的累計鋼產(chǎn)量共5×100+

5×4

2

×10+

2(1-25)

1-2

+490=1002萬噸
（Ⅱ）各年的產(chǎn)量如下表

n	1	2	3	4	5	6	7	8
an	100	110	120	130	140	150	160	170
bn	100	102	106	114	130	162	226	354

∴2018年底甲工廠將被乙工廠兼并．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查用數(shù)列解決實際問題．由于比較兩個工廠的產(chǎn)量時兩個函數(shù)的形式較特殊，不易求解，故采取了列舉法，數(shù)據(jù)列舉時作表格比較簡捷．