Question

【題目】已知F1 ， F2為橢圓C： （a＞b＞0）的左、右焦點，M為橢圓C的上頂點，且|MF1|=2，右焦點與右頂點的距離為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且直線OA，OB的斜率kOA ， kOB滿足kOAkOB=﹣ ，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，a=2，a﹣c=1，得c=1，a2=b2+c2，

∴b2=3，

∴橢圓的方程為

（2）解：①當直線l的斜率不存在時，設l：x=n，不妨取A（n， ），B（n，﹣ ），

由kOAkOB=﹣ ，解得n2=2．

此時，S△AOB= 丨AB丨丨n丨= ，

②當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，消去y化簡得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

由韋達定理可知x1+x2=﹣ ，x1x2= ，△＞0得4k2﹣m2+3＞0

kOAkOB=﹣ ， =﹣ ，即：3x1x2+4y1y2=0，

即：3x1x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，

即：（3+4k2）x1x2+4km（x1+m2）+4m2=0，

化簡整理得：3+4k2=2m2，

由弦長公式得：丨AB丨= ，

= ，

O到直線y=kx+m的距離d= ，則：

S△AOB= 丨AB丨d= 丨m丨，

= 丨m丨，

= ．

綜上所述，S△/span>AOB=

【解析】（1）由橢圓的性質，|MF1|=2，即a=2，a﹣c=1，即可求得c=1，b2=3，即可求得橢圓的方程；（2）當直線l斜率不存在時，kOAkOB=﹣ ，求得A和B點坐標，利用三角形面積公式，即可求得△AOB的面積，當直線l的斜率存在，設出直線l的方程，將直線l的方程代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理求得x1+x2和x1x2 ， 根據斜率公式求得表示出kOAkOB ， 由點到直線距離公式及三角形面積公式，即可求得△AOB的面積，綜上即可求得△AOB的面積．