Question

(本小題滿分14分)

如圖5，是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，點和點為線段的三等分點，平面外一點滿足，。

（1）證明：；

（2已知點為線段上的點，

，，求平面與平面所成二面角的正弦值。

Answer 1

（1）證明： 連結，因為是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，所以。

在中，。

在中，，為等腰三角形，且點是底邊的中點，故。

在中，，所以為，且

。

因為，，且，所以平面，

而平面，。

因為，，且，所以平面，

而平面，。

（2）設平面與平面RQD的交線為.

由，，知.

而平面，∴平面，

而平面平面= ，

∴.

由（1）知，平面，∴平面，

而平面，∴，，

∴是平面與平面所成二面角的平面角．

在中，，

，．

在中，由知，，

由余弦定理得，

由正弦定理得，，即，

。

故平面與平面所成二面角的正弦值為。