Question

【題目】證明：1﹣ ≤ln（x+1）≤x，其中x＞﹣1．

Answer 1

【答案】證明：①構造函數f（x）=ln（x+1）﹣x， ∵f′（x）= ，（x＞﹣1），當x=0，f′（0）=0，得下表

X	﹣1＜x＜0	0	x＞0
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	單調遞增	極大值f（0）=0	單調遞減

∴x＞﹣1總有f（x）≤f（0）=0，∴ln（x+1）﹣x≤0，∴ln（x+1）≤x；
②構造函數g（x）=ln（x+1）+ ﹣1，∵g′（x）= ，
當x=0，g′（0）=0，當﹣1＜x＜0，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；
當x＞0，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；∴x=0，g（x）極小值=g（x）min=g（0）=0，
∴x＞﹣1時，總有g（x）≥g（0）=0，∴ln（x+1）+ ﹣1≥0，
即：1﹣ ≤ln（1+x），
綜上①②不等式1﹣ ≤ln（x+1）≤x成立
【解析】分別構造函數f（x）=ln（x+1）﹣x，g（x）=ln（x+1）+ ﹣1，根據函數的單調性求出函數的最值，從而證出結論．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．