Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，∠DAB=60°．

（1）求證：直線AM∥平面PNC；

（2）求二面角D﹣PC﹣N的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）在上取一點，使，連接， ，可得， ， 為平行四邊形，即，即可得直線平面．

（2）取中點，可得， ， 相互垂直，以為原點，如圖建立空間直角坐標系，易知平面的法向量，求出面的法向量，計算出兩向量夾角即可.

試題解析：（1）在上取一點，使，連接， ，

∵， ，∴， ， ， ∴， ，∴為平行四邊形，即，又平面，∴直線平面．

（2）取中點，底面是菱形， ，∴，∵，∴，即，又平面，∴，又，∴直線平面，故， ， 相互垂直，以為原點，如圖建立空間直角坐標系．

則， ， ， ， ， ，易知平面的法向量，設面的法向量，由，得，∴，故二面角的余弦值為